Корень, его свойства, извлечение корня Эта статья продолжает тему корень из числа. Здесь мы разберемся с извлечением корня. Сначала определим, что называют извлечением корня, и установим, когда корень извлекается. Дальше изучим принципы, на которых основано нахождение значения корня, после чего на примерах рассмотрим основные способы извлечения корней из натуральных чисел, а затем и из дробных чисел.
Навигация по странице.
- Что означает «извлечение корня»?
- Когда корень извлекается?
- Способы и примеры извлечения корней. Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
- Разложение подкоренного числа на простые множители.
- Извлечение корней из дробных чисел.
- Извлечение корня из отрицательного числа.
- Порязрядное нахождение значения корня.
Что такое квадратный корень
Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:
| Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. |
Определение квадратного корня также можно представить в виде формул: √a = x x2 = a x ≥ 0 a ≥ 0
Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.
Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.
Попробуем найти корень из √-16
Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.
Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).
Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.
Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.
Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.
Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x2 = 16, x = 4 и x = -4.
Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?
При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.
Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.
Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.
Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.
Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.
Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением
Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:
- x2 = 16 не равно x = √16.
Это два нетождественных друг другу выражения.
- x2 = 16 — это квадратное уравнение.
- x = √ 16 — арифметический квадратный корень.
Из выражения x2 = 16 следует, что:
- |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.
Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.
В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.
Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:
- Пример решен неверно
- Это квадратное уравнение.
Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.
Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.
Даны два выражения:
- x2 = 36
- x = √36
Первое выражение — квадратное уравнение.
|x| = √36 x1 = +6 x2 = -6.
Второе выражение — арифметический квадратный корень.
√36 = 6 x = 6.
Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.
Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня
Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.
Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.
Примеры иррациональных чисел:
√2 = 1,414213…;
π = 3,141592…;
e = 2,718281…. .
Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.
Дано уравнение: x2 = 2.
Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.
Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:
1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9.
Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.
Решение следующее: Строим график функции y = x2. Отмечаем решения на графике: -√2; √2.
Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .
В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень. x2 = 2. x = √2 x = -√2.
Финальные вычисления
Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.
Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:
522 = (50 +2)2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704; 582 = (60 − 2)2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.
Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный 
Извлечение корней
Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей —
и используйте для решения задачек.
Таблица квадратов
Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:
- 1. Извлеките квадратный корень: √289
Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.
Влево — 1, вверх — 7.
Ответ: √289 = 17.
- 2. Извлеките квадратный корень: √3025
Ищем в таблице число 3025. Влево — 5, вверх — 5.
Ответ: √3025 = 55.
- 3. Извлеките квадратный корень: √7396
Ищем в таблице число 7396.
Влево — 8, вверх — 6.
Ответ: √7396 = 86.
- 4. Извлеките корень: √9025
Ищем в таблице число 9025.
Влево — 9, вверх — 5.
Ответ: √9025 = 95.
- 5. Извлеките корень √1600
Ищем в таблице число 1600.
Влево — 4, вверх — 0.
Ответ: √1600 = 40.
Извлечением корня называется нахождение его значение.
Ограничение корней
В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:
102 = 100; 202 = 400; 302 = 900; 402 = 1600; … 902 = 8100; 1002 = 10 000.
Получим ряд чисел:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:
[Подпись к рисунку]
То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:
[Подпись к рисунку]
Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.
Вынесение множителя из-под знака корня
С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.
Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.
Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.
Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.
В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:
Таким образом множитель выносится из-под знака корня.
Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.
- √28
Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.
- Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения, Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.
- Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24
Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4. - Упростите выражение:
Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.
Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.
Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5. Выносим общий множитель за скобки:
Далее вычисляем все, что в скобках:
Почему возможно заменить корень на произведение
В этом пункте мы будем разбираться, как возможна такая замена и почему корень B n · C n равнозначен произведениям B · C n и B · C n . Обратимся к ранее изученным теоретическим положениям.
Когда мы разбирали преобразование иррациональных выражений, у нас получились некоторые важные результаты, которые мы собрали в таблицу. Здесь нам будут нужны только два из них:
1. Выражение A · B n при условии нечетности n может быть заменено на A n · B n , а для четных n – A n · B n .
2. Выражение A n n при нечетном значении n может быть преобразовано в A , а при четном – в | A | .
Используя эти результаты и зная основные свойства модуля, мы можем вывести следующее:
- при четном n : B n · C n = B n n · C n = B · C n ;
- при нечетном n : B n · C n = B n n · C n = B n n · C n = B · C n .
Эти выражения лежат в основе преобразований, которые мы проводим, вынося множитель из-под знака корня.
Следовательно, можно вывести две формулы:
- B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n = B 1 · B 2 · . . . · B k · C n для нечетного n ;
- B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n = B 1 · B 2 · . . . · B k · C n для четного n .
Здесь B 1 , B 2 , и др. могут быть как числами, так и выражениями.
С помощью данных формул можно выполнить вынесение из-под корня сразу нескольких множителей.
Сравнение квадратных корней
Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.
Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.
Если:
- √a < √b, то a < b
- √a = √b, то a = b
Давайте разберем на примере.
Сравните два выражения: √70 и 8√2
Первым делом преобразуем второе выражение: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.
70 < 128.
Это значит, что √70 <� 8√2.
Запоминаем
Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.
Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.
- Сравните два выражения: √50 и 9√5
Ответ: преобразовываем выражение 9√5.9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405
50 < 405
Это значит, что √50 < 9√5.
- Сравните два выражения: 6√5 и √18
Ответ: преобразовываем выражение 6√5.6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180
180 > 18
Это значит, что 6√5 > √18.
- Сравните два выражения: 7√12 и √20
Ответ: преобразовываем выражение 7√12.7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588
588 >20
Это значит, что 7√12 > √20.
Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.
Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.
Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.
Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.
Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.
Вычисление корня делением в столбик
Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.
Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.
- Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
- Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
- Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
- Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
- Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
- Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
- Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.
В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.
